Dar caza a través de la temperatura (I)

En la asignatura Métodos Numéricos y de Simulación de tercero de Física nos propusieron a dos compañeros y a mí el trabajo de programar un autómata que consistiera en un “depredador” capaz de cazar a una “presa” a través de la temperatura. En esta primera parte de lo que serán dos entradas, hablaré del modelo que hay detrás de lo que acabó siendo nuestro trabajo. En la segunda parte describiré la implementación del modelo en Matlab y en definitiva, el autómata en funcionamiento.

El concepto

Para construir el modelo podemos pensar primero en un caso real del problema: imaginemos un animal que tiene cierta temperatura y se encuentra en un ambiente a una temperatura menor que la de su cuerpo. La experiencia nos enseña que el animal va a calentar el aire que lo rodea, de la misma forma que puedes derretir un cubito de hielo agarrándolo con tu mano. Este primer factor, el traspaso de energía de la presa al ambiente lo llamaremos calentamiento.

¿Cómo podría el cazador aprovechar lo anterior? Pues bien, si hacemos que nuestro cazador mida la temperatura de su entorno cercano, habrá una dirección en la que la temperatura será más alta de la normal debido a que la presa lo ha calentado. El cazador sólo tiene que seguir ese rastro invisible. Si repite esto a cada paso que da, todo parece indicar que llegará a l presa.

Si el cazador C es capaz de distinguir los cambios de temperatura a su alrededor, puede rastrear a la presa P.

Realmente nuestro objetivo se reduce a dos cosas:

1. Modelar cómo la presa calienta el ambiente.

2. Hacer que el cazador siga el rastro de calor.

Ley de calentamiento

Vamos a modelar cómo la presa calienta el ambiente que lo rodea razonando una ecuación sencilla que describa lo que queremos. Comencemos imaginando un caso simple: ponemos en contacto dos objetos a distinta temperatura bajo las siguientes condiciones.

1. La temperatura de uno de ellos es siempre la misma (foco de temperatura), que denotaré por Tp (por ejemplo, nuestra temperatura corporal siempre está entorno a los 36 ºC).

2. El otro cuerpo (lo llamaré cuerpo B) se encuentra a una temperatura inicial Ti menor que Tp cuando el reloj del experimento empieza a contar.

Estamos buscando una ecuación que nos diga la temperatura T del cuerpo B en función del tiempo t, la temperatura del foco Tp y su temperatura inicial Ti. Supongamos ahora que ponemos en contacto nuestros dos objetos imaginarios para que comiencen a intercambiar calor. Si tienen temperaturas muy diferentes, parece ser que el intercambio de calor es muy rápido, como por ejemplo ocurre con una gota de agua que cae en una sartén muy caliente: la gota se evapora al momento. Pero si la diferencia de temperatura es más parecida entre los cuerpos, parece que el intercambio es más lento. Por ejemplo, un cubito de hielo se derrite antes en un refresco caliente que en uno frío.

Nota: los ejemplos anteriores realmente no son fieles a los conceptos descritos por una serie de detalles, pero ayudan a pillar la idea.

Recapitulemos lo que llevamos hasta ahora: Si T es la temperatura del cuerpo B en un determinado momento t y la diferencia entre las temperaturas los cuerpos (Tp - T) es alta, entonces la velocidad con la que B cambia de temperatura, es decir, la derivada dT/dt será alta. De igual modo, si la diferencia de temperaturas es baja, la velocidad de cambio de temperatira será lenta.

Si queremos un modelo simple, lo anterior nos está pidiendo a gritos lo siguiente: La velocidad con la que cambia la temperatura de B es directamente proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del foco, que escrito matemáticamente queda:

Donde r es la constante de proporcionalidad (mayor que cero) que modela la rapidez de ese cambio de energía. Pues ya tenemos modelo, aunque no hemos inventado nada nuevo: ésta se conoce como la ley de calentamiento de Newton.

Volviendo a nuestro problema, T indicaría la temperatura del ambiente cercano a la presa en un instante, Tp la temperatura constante de la presa y Ti la temperatura inicial del ambiente. Esta ecuación diferencial se integra directamente:

Por lo que

Despejando T llegamos a la ecuación que modela la temperatura de B en función del tiempo, T(t):

Con esto ya podemos hacer una primera aproximación sobre cómo la presa calienta el ambiente que le rodea. En la siguiente figura puedes ver representada esta función para una temperatura de la presa de Tp = 45, una temperatura ambiente inicial de Ti = 25, y un coeficiente de proporcionalidad r = 1 . Puedes mover los cursores para variar las temperaturas y la constante r.

Como se puede ver en la gráfica, el modelo planteado predice que la temperatura de B va pareciéndose cada vez más a la del foco, como esperaríamos en la realidad. En la segunda parte veremos cómo implementar todo esto en un código de Matlab y crear el autómata.

Recomiendo la serie de tres videos sobre ecuaciones diferenciales del canal de youtube 3Blue1Brown (mi canal de matemáticas favorito sin lugar a dudas). Dejo aquí el primero de ellos.